Школа ставок: математическое ожидание. Блог Ткачева

Вместе с ведущим трейдером БК «Лига Ставок» Дмитрием Ткачевым разбираемся в азах букмекерства в рамках обучающего проекта «Школа ставок».

Формулы

В предыдущей статье я остановился на таком понятии, как математическое ожидание ставки игрока. На простом языке матожидание — это средний ожидаемый выигрыш или проигрыш по ставке на длительной дистанции. В математике принято обозначение М (Х), но также иногда встречается Е (Х). За Х здесь берется случайная величина, которая принимает значения х₁, х₂, х₃… х_n с вероятностями p₁, p₂, p₃… p_n. Касаемо ставок на спорт нашей случайной величиной будут выигрыши или проигрыши по ставке, которые мы будем получать с некими вероятностями. Рассчитывается математическое ожидание как сумма произведений всех значений случайной величины на соответствующие вероятности:

М (Х) = х₁p₁ + x₂p₂ + x₃p₃ + … + x_np_n

К примеру, в нашей игре с монеткой из прошлой статьи, математическое ожидание будет равняться нулю:

M (X) = 1*0,5 + (-1)*0,5 = 0

Эту запись можно читать так: «С вероятность 0,5 мы выигрываем 1 рубль, а с вероятностью 0,5 — проигрываем 1 рубль, но при многократных повторениях мы в среднем будем выигрывать 0 рублей». Когда математическое ожидание игры равно 0, такая игра называется справедливой.

Теперь посмотрим, каким будет математическое ожидание, если мы будем играть в ту же игру у букмекера, но с коэффициентами, которые он нам предложит. Возьмем, например, коэффициент 1,9 на оба исхода, и для наглядности ставить будем по 100 рублей:

M (X) = 90*0,5 + (-100)*0,5 = -5

Мы получили -5, то есть, в среднем на каждые поставленные 100 рублей мы будем проигрывать 5. И то же самое будет, если совершать ставки на противоположный исход. Хочу заметить, что отрицательное матожидание не означает, что ставка проиграет. Это лишь показатель того, что такая игра заведомо убыточная и проигрыш всех средств в ней лишь вопрос времени!

Зачем играть, если матожидание — отрицательное?

Из всего выше сказанного вытекает логичный вопрос: «Зачем тогда совершать ставки, если из-за букмекерской маржи они имеют отрицательное математическое ожидание?»

Ну, во-первых, большая часть игроков совершает ставки в развлекательных целях. Кому-то хочется «пощекотать» свои нервы, кто-то ставит чтобы матч оказался более захватывающим для просмотра, а кто-то проверяет свои познания в близком ему виде спорта. На самом деле в таком подходе нет ничего плохого. Проигранные средства можно воспринимать как плату за полученное удовольствие от игры, а выигрыш будет приятным бонусом к нему.

Во-вторых, не все так просто с математическим ожиданием, как в игре с правильной монеткой. Там мы всегда знаем, с какой вероятностью будем получать тот или иной исход, но на практике нет никаких точных вероятностей. У игроков свои прогнозируемые вероятности, у букмекеров свои, а в выигрыше остается тот, чей прогноз был точнее.

Пример реальной линии

Разберем это все на примере реального матча четвертьфинала Лиги чемпионов «Бавария» — «ПСЖ».

«Лига ставок» предлагает коэффициент 2,03 на победу «Баварии», 3,45 на победу «ПСЖ» и 3,9 на ничейный результат. По аналогии с расчетами из прошлой статьи, я переведу все коэффициенты в вероятности и избавлюсь от маржи в них. Для удобства воспользуюсь Excel и занесу все данные в таблицу:

Как видите, маржа на рынке П1-Х-П2 в этом матче составляет примерно 3,89%, а силы сторон распределены примерно с вероятностями 0,47-0,25-0,28. Представим на секунду, что букмекер может очень точно предсказывать вероятности исходов, тогда мы, совершая ставки по такой линии, будем терять в среднем 37 рублей с каждой поставленной 1000.

Но букмекерская линия не идеальна, и наше мнение может отличаться от мнения букмекеров. К примеру, игрок провел анализ предстоящего матча и считает, что линия 1,9-4,05-3,75 более правильно отражает «силу» команд.

Я дополню таблицу новыми данными и пересчитаю математическое ожидание на основе вероятностей, которые спрогнозировал игрок:

По этим данным мы получили положительное математическое ожидание. Примерно 27 рублей составляла бы прибыль с каждой поставленной 1000, если бы мы постоянно совершали такие ставки на «Баварию».

Положительное матожидание — не гарантия выигрыша

Теперь я снова должен заострить ваше внимание на том, что положительное математическое ожидание не является гарантией выигрыша по ставке! Это лишь показатель того, что при многократном повторении такая ставка давала бы в среднем прибыль, равную ее матожиданию.

Для полной картины нужно рассмотреть еще один интересный случай. Представьте, что ближе к матчу коэффициент на «Баварию» опустился и линия приняла вид 1,8-4,2-4,1:

В таких условиях уже невыгодно ставить на «Баварию»: мы теряем почти 9% на дистанции. Зато, делая ставку на «ПСЖ», мы имеем перевес над линией букмекера и в среднем можем ожидать около 5%. Но все это ПРИ УСЛОВИИ, что ваши вероятности выставлены точнее, чем у букмекера.

Обратите внимание: в своих рассуждениях я, как игрок, не отдавал предпочтение какой либо команде. Я не строил прогноз, что точно победит «Бавария» или «ПСЖ». Все, что я делал, это выбирал, на кого ставить в зависимости от меняющихся условий. А математическое ожидание было моим индикатором для выбора стороны.

В следующей статье мы проведем сравнение по всей игровой индустрии — будь то казино, букмекерские компании или лотереи, чтобы понять, чего стоит ожидать игроку в каждом случае.

Урок 1: вероятности и коэффициенты букмекерской линии

Урок 2: букмекерская маржа

Урок 4: индустрия гемблинга (лотереи и казино)

Урок 5: индустрия гемблинга (покер, фэнтези и ставки)

Урок 6: букмекерские маркеты (форы, тоталы и т.д.)

Урок 6: форы, тоталы и другие маркеты

Урок 7: метод Монте-Карло

Регистрация на сайте БК «Лига Ставок» — здесь.